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因子分析    

  • 因子分析和主成分分析一样，也是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。


    ，是的均值向量.
    该模型被称为有个因子的因子分析模型，为公共因子，特殊因子，为因子载荷矩阵。由以上的关系我们知道，从而对角线上的元素

    其中反映了公共因子对的影响，称之为共同度.
    值得注意的是，因子分析并不是唯一的，若是任意阶正交阵，则可以表示成：，将作为因子载荷，作为公共因子，则因子分析的条件依然满足，因子载荷的不唯一性，使得我们有更多的选择的余地，对于我们的分析反而是有利的。
    提取因子的方法有多种，常见的有主成分分析，主因子分析，迭代主因子分析，极大似然分析。旋转的方法更是种类繁多，主要有最大方差，最大均方。由于提取因子的随机性，通过旋转公因子可以减少这种随意性，所以公共因子旋转式必要的，旋转同时也有利于公共因子现实意义的解释。

    定义：Factor(X:Array, VarValue:Real):Array;
    说明：对样本数据进行因子分析，分别采用主成分分析法估计因子载荷矩阵（因子载荷矩阵不唯一），方差最大法做载荷矩阵的正交旋转矩阵，回归方法计算因子得分
    参数：
    X: 二维维实数数组，表示样本矩阵；
    VarValue:实数，表示方差贡献率,控制因子个数；
    返回结果：
    Ret["Correlation Matrix",0]：样本数据的相关系数矩阵
    Ret["kmo",0]：KMO检验值；0.9<KMO: 非常适合；0.8<KMO<0.9：适合 ；0.7<KMO<0.8：一般； 0.6<KMO<0.7：适合度较低 ；KMO<0.6：适合度很低
    ret["Total Variance Explained",0]：特征值、方差贡献率、累计方差贡献率等信息
    ret["Component Matrix",0]：因子载荷矩阵
    ret["Communalities",0]：共同变量度，即载荷矩阵行的平方和
    ret["thogonal matrix",0]：正交变换后的载荷矩阵
    ret["Rotation matrix",0]：旋转矩阵
    ret["Factor score",0]：因子得分

    例：下面我们对2010年上证A股的9个财务指标进行因子分析(参见平台下的demo_factor函数)：

    stockn:=getbk("上证A股");
    vo:=BackUpSystemParameters();
    SetSysParam(pn_date(),today());
    sto:=array();
    for nI:=0 to length(stockn)-1 do
    begin
      SetSysParam(pn_stock(),stockn[nI]);
      if IsStockGoMarket(inttodate(20011231)) then
       sto[length(sto)]:=stockn[nI];
    end
    st:=array2str(sto,";");
    A1:= Query("",st,True,"","代码",DefaultStockID(),
    "主营业务利润",report(46008,20101231),
    "利润总额",report(46024,20101231),
    "净利润",report(46033,20101231),
    "加权每股收益",report(42003,20101231),
    "每股净资产",report(42006,20101231),
    "加权净资产收益率",report(42013,20101231),
    "资产总计",report(44059,20101231),
    "股本",report(44099,20101231));
    RestoreSystemParameters(vo);
    a:=zeros(mrows(a1),mcols(a1));
    a[:,:]:=a1[:,:];
    stock:=a[:,0];
    data:=a[:,1:8];  //取得纯数据矩阵
    br:=factor(data,0.85); //
    return br;

    结果分析：

    Ret["kmo",0]=0.733，即表明数据可以做因子分析

    ret["Total Variance Explained",0]：第一列为样本矩阵的相关系数矩阵的特征值，第二列为方差贡献率，第三列为累计方差贡献率
    ret["Component Matrix",0]：因子载荷矩阵
             
    ret["Communalities",0]：共同度表示三个因子解释掉变量的多少，显然，共同度越大，表示能解释原来变量的信息就越全；

    ret["thogonal matrix",0]：从thogonal matrix中看出第一个公因子可以解释为“规模因子”，因为它的 0:主营业务收入净额、1:主营业务利润;、2:利润总额、3:净利润、7:资产总计、8:股本的绝对值都比较大；第二个公因子可以解释为“每股价值因子”“收益率因子”，因为其4:每股收益、 5:每股净资产的绝对值大；第三个公因子则可以解释为“收益率因子”，因为4:每股收益和6:净资产收益率;的绝对值较大。因子分析模型中的因子是抽象的，得根据研究对象的具体分析所解释，“解释”是抽象的概念。
    ret["Rotation matrix",0]：旋转矩阵
    array((0.9888,0.1296,0.0734),(-0.149,0.8703,0.4695),(-0.0031,-0.4752,0.8799))
    ret["Factor score",0]:因子得分，表示各个股票在这三个因子的得分情况，让研究人员更好的做其他分析。